mathématiques

Démontrer par récurrence que :
On appelle f la fonction définie sur [0 ; 1] par f(x) = x² et on note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

On se propose de calculer l'aire A de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe ( C) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 (l'unité d'aire est l'aire du carré construit sur les vecteurs de base).

Pour cela, on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles :
et on construit (voir figure ci-dessous) les " petits " rectangles situés sous la courbe (C) et les " grands " rectangles situés au-dessus de la courbe (C).

On appelle un la somme des aires des " petits " rectangles ainsi construits et vn la somme des aires des " grands " rectangles " et on admettra que :

1. Calculer u6 et v6 et en déduire un encadrement de A.

2. Vérifier que :
Donner de même une expression de vn.

3. Démontrer que :
Calculer de même vn, puis vn - un

4. Calculer :
En déduire la valeur exacte de A.

En utilisant la fonction inverse, calculer par la méthode des trapèzes une valeur approchée de ln 2. On pourra utiliser une subdivision de l'intervalle [1; 2] en 10 intervalles de même amplitude.

f étant une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a; b], x désignant un réel de l'intervalle [a; b], on note F(x) l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites d'équations X = a et X = x.

Le fichier Géoplanw permet la visualisation de la fonction F, en affichant x et F(x), et en construisant la courbe de F. Le point M(x; f(x)) se déplace sur la courbe de F en pilotant x au clavier. Le calcul d'aire effectué est un calcul approché, utilisant la méthode des trapèzes (20 trapèzes construits). Il convient donc de se limiter à un intervalle [a ;x] pas trop étendu.

L'on peut modifier la fonction f , ainsi que la borne a. En prenant f(x) = 1/x et a = 1, l'on introduit la fonction ln.

Il n'est pas nécessaire que la fonction f soit strictement monotone pour visualiser la courbe d'une primitive de f. L'on peut, par exemple, prendre f(x) = cos(x) et vérifier que la primitive de f qui s'annule en 0 est définie par F(x) = sin(x).

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