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Approximation de e

mis à jour le 29/05/2018

Calculer une valeur approchée de e avec Python.

mots clés : approximation, exponentielle, python pour classe,

Objectif

Le but de ce document est de proposer une technique de calcul d’une valeur approchée de e. L’idée est d’effectuer une construction sur papier avant de basculer sous Python pour augmenter le nombre d’étapes de calculs

Activité 1

On se propose de déterminer une approximation du nombre e, image de 1 par la fonction exponentielle. 1.

On partage l’intervalle [0;1] en deux intervalles de même longueur.
1. Construire le point A₀ d’abscisse 0 de la courbe représentative de la fonction exponentielle.
2. Quel est le coefficient directeur de la tangente en A₀ ? Tracer cette tangente sur [0; 0,5].
3. Placer le point A₁ de cette tangente d’abscisse 0,5. Vérifier que l’ordonnée de ce point est 1,5.
4. Par définition d’une tangente, ce point A₁ est proche de la courbe.
  Pour déterminer une approximation de e, on suppose que ce point A₁ est un point de la courbe. Expliquer alors pourquoi le coefficient directeur de la tangente en ce point est égal à 1,5. Tracer cette tangente sur [0,5; 1].
5. Placer le point A₂ d’abscisse 1 de cette tangente. Démontrer que l’ordonnée de ce point est 2,25.
  On peut considérer que ce point A₂ est proche du point d’abscisse 1 de la courbe. L’ordonnée de ce point est une première approximation pour le nombre e.
On partage l’intervalle [0; 1] en n intervalles de même longueur. On reproduit le procédé précédent en approchant la courbe en chaque point A_k(x_k; y_k) par la tangente en A_k pour k variant de 0 à n -1.