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A partir d'un complexe de module 1
mis à jour le 27/05/2009
Il s'agit d'une activité de synthèse sur les nombres complexes. Les élèves ont choisi de commencer à explorer cette situation en utilisant un logiciel de calcul formel. Une fois la conjecture énoncée, les stratégies de preuves ont été très variées.
mots clés :
complexe, calcul formel
Enoncé l'activité
z est un nombre complexe de module 1 et distinct de 1.
Etudier le nombre complexe :
Objectifs
Cette activité a été testée en milieu d'année en Terminale S alors que les chapitres sur les nombres complexes sont terminés. Les élèves sont en demi-classe , en salle informatique. Il s ont déjà un peu utilisé un tableur, Xcas , Géogébra et GéoplanGéospace (version gratuite avec possibilité d'utiliser les complexes).
Il s'agit d'une activité de synthèse sur les nombres complexes : c'est l'étude de différentes stratégies qui fait la richesse de cette situation.
Scénario
Les élèves font quelques essais en choisissant quelques nombres complexes de module 1:
z = i,
z = - i,
z = -1 .
Les calculs sont faits à la main. Ils ont ensuite quelques difficultés pour trouver d'autres complexes de module 1 : ils pensent à
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image004_1243447662058.gif?ID_FICHE=1243427240634)
et le calcul devenant plus long, certains choisissent d'ouvrir Xcas.
Des conjectures sont avancées. Pour tout complexe
z de module 1 et distinct de 1 :
- On dirait que : f(conj(z))= - f(z)
- On dirait que : f(conj(z))= conj( f(z))
- On dirait que f(z) est imaginaire pur
Remarque : ces trois conjectures sont équivalentes.
D'autres essais semblent nécessaires, il faut donc rechercher d'autres complexes de module 1.
Nouvelle idée : l'écriture exponentielle ( si elle fonctionne avec Xcas ).
Ils obtiennent un résultat réconfortant pour
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image006_1243447748107.gif?ID_FICHE=1243427240634)
, étonnant pour
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image028_1243448545411.gif?ID_FICHE=1243427240634)
mais les commandes
evalc ou
approx permettent de continuer... La partie réelle de
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image028_1243448545411.gif?ID_FICHE=1243427240634)
semble bien nulle.
La conjecture
f(z) est imaginaire pur sort renforcée.
L'idée de généraliser avec
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image008_1243447797385.gif?ID_FICHE=1243427240634)
apparaît enfin. La partie réelle de
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image010_1243447841537.gif?ID_FICHE=1243427240634)
semble nulle.
Les élèves effectue la preuve à la main en utilisant
Une première preuve est établie :
f(z) est bien imaginaire pur.
Certains ont pensé à la notation algébrique mais
oublient dans un premier temps que
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image014_1243447916719.gif?ID_FICHE=1243427240634)
...
Finalement, une deuxième preuve est établie.
Une troisième piste En commençant par poser
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image016_1243447975377.gif?ID_FICHE=1243427240634)
, un élève a fait des calculs qui revenaient (sans l'exprimer clairement) à exprimer
z en fonction de
t.
En avançant dans cette voie, et en remarquant que
t ne peut pas être égal à 1, il trouve
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image030_1243448766363.gif?ID_FICHE=1243427240634)
, ce qui l'étonne ...
et conduit à l'idée que
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image018_1243448030922.gif?ID_FICHE=1243427240634)
. On peut vérifier par exemple avec Xcas (Voir l'annexe).
En appelant
I le point d'affixe 1,
K le point d'affixe -1,
M le point d'affixe
z et
N le point il obtient :
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image020_1243448087925.gif?ID_FICHE=1243427240634)
.
Dire que le module de
z est égal à 1 revient à dire que
NK=NI ou encore que
N appartient à la médiatrice du segment
[KI], donc à l'axe des ordonnées. Ce qui assure que
t est imaginaire pur.
Une quatrième piste Après avoir conjecturé que
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image002_1243448135006.gif?ID_FICHE=1243427240634)
est un imaginaire pur, un élève découvre ce joli raisonnement géométrique :
En appelant
I le point d'affixe 1,
K le point d'affixe -1,
M le point d'affixe
z et
m le point d'affixe
- z, on peut écrire :
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image022_1243448178264.gif?ID_FICHE=1243427240634)
D'où :
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image024_1243448188925.gif?ID_FICHE=1243427240634)
.
Ce qui achève la preuve car le triangle
IMm étant rectangle en
I,
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image026_1243448222186.gif?ID_FICHE=1243427240634)
donc
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image002_1243448135006.gif?ID_FICHE=1243427240634)
est bien un imaginaire pur.
Une cinquième piste (que j'attendais plus tôt) : utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique .
Le plus adapté est GéoplanGéospace qui permet une conjecture très rapide.
(Avec géogébra, il peut y avoir couplage avec un logiciel de calcul formel voir le scénario complet)
Une sixième piste avec les conjugués.Pour tout complexe z de module 1, on a
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image032_1243448624936.gif?ID_FICHE=1243427240634)
et comme z est distinct de 1 :
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image034_1243448704956.gif?ID_FICHE=1243427240634)
ce qui assure que
![](https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/photo/image002_1243448135006.gif?ID_FICHE=1243427240634)
est imaginaire pur.
Compétences expérimentales
- Faire des essais pour énoncer, renforcer, tester une conjecture.
- Utiliser différentes écritures d'un même nombre
- Prendre l'initiative de mobiliser un logiciel de géométrie dynamique pour illustrer la situation.
- Prendre l'initiative de mobiliser le calcul formel pour obtenir rapidement un grand nombre de résultats .
- Prendre l'initiative de mobiliser le calcul formel pour accompagner un calcul « à la main ».
En guise d'évaluation
Rédiger deux preuves différentes de la conjecture trouvée.
auteur(s) :
Gérard Cordes, Enseignant, Lycée Delattre de Tassigny
information(s) pédagogique(s)
niveau : Terminale S
type pédagogique : non précisé
public visé : enseignant, élève
contexte d'usage : non précisé
référence aux programmes :
documents complémentaires
Les fichiers associés |
Le scénario complet
Une autre version du scénario
Un fichier Géoplan
Un fichier Dérive
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