- tous niveaux
- non précisé
Deux premiers exemples d’instants de culture mathématiques
Voici deux premiers exemples de mise en pratique du travail autour du premier axe du Laboratoire sur l’acculturation aux mathématiques.
Voici deux premiers exemples de mise en pratique du travail autour du premier axe du Laboratoire sur l’acculturation aux mathématique.
Premier exemple - Somme de 1 à 100 et superstairs
Présentation
Nous menons l’activité du superstairs (issue du site monclasseurdemaths.fr de Jean-Yves Labouche, voir lien vers la vidéo ci-dessous) depuis plusieurs années. Nous avions l’habitude de conduire cette activité d’une façon qui amenait au même contenu mathématique, et avons eu l’opportunité cette année de l’enrichir d’une dimension historique. Ce document présente donc la mise en œuvre « enrichie » de l’activité.
Activité issue de :
Mise en œuvre générale et « habituelle » avant le travail mené en lien avec l'histoire des sciences
- On visionne la vidéo https://www.monclasseurdemaths.fr/tc/du-sport-dans-des-escaliers/ une première fois ensemble, puis une deuxième fois.
- Quelques idées dont on peut s'emparer (mais pas nécessairement) :
- On laisse accessible quelques postes, avec le tableur accessible.
- Prolongement : Combien de temps cela va-t-il lui prendre ?
- Coup de pouce supplémentaire avec l’idée de dessiner un escalier à 5 marches ? Coup de pouce à passer à l’oral.
- Distribution d'un texte sur le génie du mathématicien Friedrich Gauss
Le texte
- Puis vient le temps de l'activité.
L'activité
Les objectifs
- Appropriation par l’élève d’une méthode expliquée au travers d’un texte historique parfois ardu pour des sixièmes. Cela doit permettre une mémorisation accrue de la méthode en question car le recours à ce texte historique construit le vécu de la classe, et favoriser un engagement plus fort qu’avec une explication « descendante ».
- Donner de la matière pour une analyse critique de l’anecdote ainsi racontée.
Selon l’avancement des groupes, l’intermède historique est distribué plus ou moins tôt. On peut aussi choisir un moment commun : milieu d’activité, fin d’activité, voire séance ultérieure après avoir vu les stratégies des élèves.
Détail de la mise en œuvre effective pour deux classes :
- Le choix est fait de ne pas laisser d’accès au tableur pour favoriser la recherche « à la main » et peu instrumentée (calculatrice non autorisée en début d'activité), et donc dans l'idée que l'« astuce » de Gauss présente un intérêt réel pour trouver rapidement, efficacement, la solution.
- Les élèves travaillent en binômes ou trinômes et ont la consigne de base du superstairs distribuée : « Combien de marches va-t-il monter et descendre avec le superstairs ? »
- Temps de recherche de 15 minutes environ, pendant lequel les élèves expérimentent. Se représenter correctement la situation est déjà un exercice en soi, et plusieurs groupes proposent très vite la réponse erronée 42 (2 x 21). Comme ils n’ont pas le droit à la calculatrice, une fois qu’ils ont bien compris qu’il s’agit de faire 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3… + 21 + 21, ils font des calculs à la main. Pris par le temps ou par les erreurs, la réponse juste ne sort pas, bien que certains binômes s’en rapprochent. Quelques élèves disent des choses comme : « Heureusement qu’il n’y a que 21 marches », pressentant ainsi que si on avait demandé pour un nombre très élevé de marches, l’exercice aurait été plus compliqué...avec cette méthode du moins.
- Distribution, sans commentaire particulier (volontairement) du texte : « je vous ai distribué un texte, si ça peut vous aider ». Certains binômes (une majorité à vrai dire) sont intrigués et lisent le texte. Le lien avec l’exercice n’est pas fait immédiatement, et les élèves sont plutôt impressionnés par ce qu’ils lisent, indépendamment de l’exercice (le fait qu’à 3 ans Gauss aurait corrigé les calculs de son père, etc.). Finalement, les élèves comprennent que cette ressource n’a pas été donnée sans lien avec ce qui leur est demandé, et identifient la partie suivante dans le texte.
Un texte
- Elle est trop ardue pour être accessible à quasiment tous les groupes. Un binôme, accompagné par l’enseignant, parvient à comprendre le raisonnement décrit et à s’en emparer pour l’adapter à l’exercice.
Un groupe comprend le raisonnement
- Nouveau temps de recherche
Proposition d'un groupe
- Un groupe avait écrit la somme différemment (mais l’enseignant n’a pas su si ils avaient réussi à écrire la somme différemment avant ou après la distribution du texte ).
Un raisonnement à la marge
- Cette solution est montrée à la classe. Elle est l’occasion de comparer l’efficacité des deux méthodes (dans la première, le problème est qu’on a un nombre impair de marches, ce qui rend la chose plus difficile). Et surtout l’occasion d’expliquer qu’on trouve plusieurs versions du raisonnement de Gauss.
- Retour en classe sur la base des apports de Jenny Boucard (maîtresse de conférences en histoire des mathématiques au centre François Viète de l’Université de Nantes), avec qui nous avons suivi une FIL, et qui nous a beaucoup outillés avec de multiples documents.
Les pages
Les retours en classe ont été riches (même si cela a été variable entre les deux classes), divers et ont soulevés des questionnements sur la motivation, le regard sur soi, et le sentiment de compétence, d'incompétence. La question posée à la classe est la suivante : « Qu'est-ce que cela provoque chez vous quand on vous montre ce genre de choses ? »
Certains élèves expriment le fait que cela ne provoque « rien » ou bien qu'ils ne se sentent pas très concernés : « On ne se pose pas ce genre de questions ».D'autres formulent que « ça motive à devenir aussi fort », « ça décourage » (parce qu'ils ne se sentent pas capables de la même chose » ; « ça fait se sentir moins intelligent qu'eux »
Des plus-values liées à l'évocation de Gauss et au texte distribué :
La première plus-value est au niveau de l'engagement des élèves, qui se montrent intéressés par l'histoire que raconte le texte. Cela attise leur curiosité.Un deuxième intérêt se situe au niveau de la construction d'une certaine abstraction, quand il s'agit de comprendre la partie mathématique du texte distribué. En effet, c'est finalement dans leur expérience du cours de mathématiques une des premières fois où ils se confrontent à une somme qu'il n'est pas raisonnable d'écrire entièrement. Ainsi, la notation 1 + 2 + … + 21 par exemple, avec 3 points, participe à construire une autre manière d'écrire et de décrire les objets mathématiques, ici des nombres.
Au détour de quelques activités rapides de début de cours, la mémorisation de la procédure pour calculer par exemple la somme des nombres de 1 à 29 est visible chez les élèves. Certains élèves réinvestissent directement la méthode. D'autres se sont d'abord souvenus de l'anecdote « ah c'est celui qui comptait à 3 ans ! », ce qui indique au passage que pour certains élèves, cet aspect « mythique » est marquant.
Enfin, comme nous l'avons déjà exprimé plus haut, l'analyse plus critique du texte au regard du document fourni par Jenny Boucard développe l'esprit critique des élèves vis-à-vis des ressources qu'on peut trouver, en particulier ici avec celles qui revêtent un aspect mythique. Les fiches anti-mythes rédigées par les membres du centre François Viète sont ainsi très utiles pour un usage en classe.Deuxième exemple - Le sens du signe égal
Présentation
Nous partons du constat qu'en classe de sixième non seulement, mais aussi (et surtout) à partir de la cinquième pendant laquelle il est demandé aux élèves de maîtriser les enchaînements opératoires et donc le signe égal, il y a de nombreuses erreurs.Exemple typique d’erreur : 3 + 5 x 2 = 10 = 13.
Le résultat final est juste ici, ce qui n'est pas toujours le cas. En effet, en ne ré-écrivant pas intégralement l'expression, on arrive à des réponses comme celle-ci : 3 – 5 x 2 = 10 = 7
Dans le cas ci-dessus, c'est aussi parce qu'il y a confusion entre priorité opératoire et ordre d'écriture des éléments de l’expression, que l'élève peut aboutir au résultat erroné 7 plutôt que -7. On est cependant convaincu qu'avec une meilleure maîtrise du signe égal, et donc l'apparition de l'entièreté de l'expression, il y aurait moins d'erreur.
Même si l'erreur 3 – 5 x 2 = 10 – 3 = 7 peut être persistante, on peut au moins, pour une telle production, être affirmatif sur le fait que c'est la non-commutativité de la soustraction qui fait défaut. Ainsi, pour les enseignants, évacuer la difficulté liée au signe égal peut également revêtir une fonction diagnostique.
Enfin, de manière générale en vue de la découverte du calcul littéral, la non-maîtrise du signe égal est un frein important pour les élèves. On pense en particulier aux tests d'égalité (« cette égalité est-elle vraie ou fausse pour telle valeur de x ? ») et à la résolution d'équation.
Mise en œuvre
Les élèves font individuellement les exercices présentés dans la fiche « Sens du signe égal », avec un temps de plénière après chaque exercice.Fiche d'exercice - Sens du signe égal
auteurs :
Laboratoire de mathématiques du Collège Ernest Renan
Mots clés :
Information(s) pédagogique(s)
Niveau :
tous niveaux
Public visé :
non précisé