Cette activité présente un bilan autour de la fonction exponentielle en revisitant le problème de la chaînette.
Les objectifs
Utiliser le travail effectué autour de la fonction exponentielle à savoir :
Dériver une fonction du type f(x)=exp(u(x)) avec u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Comment calculer des limites ?
Comment déterminer la symétrie d’une courbe ?
Comment étudier la position d’une tangente par rapport à sa courbe ?
Stratégie utilisée pour présenter la situation aux élèves
Un diaporama est présenté où l’on retrouve la fonction cosinus hyperbolique dans la vie courante :
Le pont « Golden bridge en Californie ».
Un fil électrique tendu entre deux pylônes.
Un « simple » collier.
Le diaporama termine sur trois diapositives posant le problème.
Eléments de mise en oeuvre
Un diaporama est présenté où l’on retrouve la fonction cosinus hyperbolique dans la vie courante :
Les élèves ont d’abord accès à un logiciel de géométrie dynamique pour émettre différentes conjectures. Ils peuvent aussi utiliser leur calculatrice.
En classe entière, plusieurs conjectures sont dégagées. Il s’agit d’en démontrer certaines.
La différentiation s’effectue alors naturellement : certains élèves préfèrent travailler avec a=1 et se concentrent sur l’étude des variations et des limites. D’autres se lancent directement dans un travail global en gardant le paramètre a et démontrent un maximum de propriété. ( Pour certains je les aide en indiquant que si la dérivée seconde est strictement positive, la tangente reste « en dessous » de sa courbe.
Le diaporama donné en classe avec les conjectures finales dégagées dans une classe.
Le diaporama au format PDF. (*) astuce : renommer un fichier .PPT ou .PPTX en .PPS, permet au diaporama de se lancer automatiquement sans passer par powerpoint (uniquement par la visonneuse). On peut faire l'inverse pour remodifier le fichier...
