classe puzzle : activité Convexité en terminale spécialité
Faire découvrir aux élèves la définition et les propriétés d’une fonction convexe sur un intervalle et en garder une image mentale.
Objectifs
Cette activité est proposée aux élèves de terminale spécialité maths. L’objectif est de faire découvrir la définition de la convexité sur un intervalle ainsi que les propriétés de la convexité (sans démonstration, à partir d’un exemple). Cette recherche se fait en groupes sous forme de classe puzzle :
Classe puzzle
Dans un premier temps, les élèves sont en groupe et travaillent sur un énoncé, sachant qu’il y a 4 énoncés. Dans un second temps, les élèves seront mélangés afin que dans chaque nouveau groupe il y ait au moins un élève ayant travaillé sur l’énoncé A, B, C ou D.
Pré-requis
Notions de première spécialité sur la dérivation (calcul de dérivée, étude de fonction, tangente). Position relative d’une courbe représentative et d’une droite.
Des alternatives possibles :
Si vous avez plusieurs groupes faisant la même activité (A, B, C ou D), leur proposer une autre fonction que la fonction cube. Par exemple, la fonction définie par f(x) = x.exp(x) qui change de convexité en x = -2. La fonction alternative proposée précédemment peut être aussi une fonction de prolongement pour tester leur compréhension de la convexité. Il est aussi possible de laisser davantage de liberté pour le bilan et de ne pas proposer le tableau. On peut laisser aux élèves, le soin de proposer un bilan de la façon qu'ils souhaitent.
Déroulé de l'activité
Phase 1
Des îlots sont créés dans la classe. Chaque groupe travaille sur un énoncé A, B, C ou D. Vu l’effectif de la classe, deux groupes travaillent sur un même énoncé :
Document élève : chaque élève a un énoncé et la représentation graphique de la fonction cube.
Enoncé A : Découvrir la définition d’une fonction convexe sur un intervalle par la position relative de la courbe représentative et des sécantes.
Enoncé B : Découvrir sans démontrer qu’une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si la courbe représentative de la fonction est située au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
Enoncé C : Découvrir sans démontrer qu’une fonction (dérivable) est convexe sur un intervalle si et seulement si sa fonction dérivée est croissante sur cet intervalle.
Enoncé D : Découvrir sans démontrer qu’une fonction (deux fois dérivables) est convexe sur un intervalle si et seulement si sa fonction dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Durée : 20 minutes avec passage de l’enseignant dans chaque groupe pour vérifier le travail.
Phase 2
6 groupes sont reformés afin que chacun contienne un élève ayant travaillé sur chaque énoncé. Les groupes correspondent aux lignes de mon tableau précédent :
Document élève : Chaque élève reçoit un tableau récapitulatif à compléter. Chaque élève expose son travail de groupe et la conclusion obtenue sur la convexité. Durée : 20 minutes
Phase 3
Le bilan de l’activité est fait en classe entière, les élèves reprennent leurs places initiales. Et prennent en note : La définition d’une corde, la définition de la dérivée seconde, la définition et les propriétés de la convexité. La notion du point d’inflexion peut aussi être donné ici. Démonstration en classe entière possible : Si f '' est positive alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes. Durée : 10 minutes ou 10+30 si la démonstration est faite.
