Divisibilité

On donne une banque de problèmes ouverts aux élèves.
Par groupe, les élèves choisissent un sujet et développent des stratégies de recherche pour le résoudre.

Travail de rédaction du raisonnement et exposé oral. (environ 1 heure)
Si un groupe a répondu à un sujet, il en prend un second.

Exposés oraux. (environ 30 minutes)
Recherche de failles, contre-exemples aux raisonnements par les élèves auditeurs. 

Synthèse enseignant. (environ 30 minutes)
Constat que la notion de divisibilité est un outil commun à tous ces problèmes. 

Banque de problèmes

Problème 1

On dispose de 100 lampes numérotées de 1 à 100, dotées d'interrupteurs. Au début, elles sont toutes éteintes.

• A la 1^ère étape, on agit sur tous les interrupteurs allumant ainsi toutes les lampes.
• A la 2^ème étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 2, éteignant ainsi une partie des lampes.
• A la 3^ème étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 3, etc …

Après la 100^ème étape, quelles seront les lampes allumées ?

Problème 2

Existe-t-il des points à coordonnées entières sur la courbe C :

et si oui, lesquels ?

Problème 3

Fabriquer des nombres du type 

où a, b et c désignent des chiffres.
Ces nombres ont-ils des diviseurs communs à 2 chiffres ? Lesquels ?
Est-ce le cas pour tous les nombres de ce type ?

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