Problèmes ouverts sur les équations diophantiennes
Comme au début de l'année, on donne une banque de problèmes ouverts aux élèves. Par groupe, les élèves choisissent un sujet et développent des stratégies de recherche pour le résoudre. L'objectif est d'aboutir à une mise en équation du problème (mais pas nécessairement sa résolution).
Banque de problèmes :
Problème 1
1. Lisa veut mesurer une durée de 2 minutes avec deux sabliers, l'un mesurant une durée de 11 minutes et l'autre une durée de 5 minutes. Sa soeur affirme « C'est facile, car 2×11-4×5 ». Expliquer comment Lisa doit alors procéder. 2. Est-il possible pour Lisa de mesurer toute durée entière de d minutes avec ces deux sabliers ?
Problème 2
Le 27 décembre 2011, un astronome a observé le corps céleste A dont la fréquence d'apparition est 105 jours. Le 2 janvier 2012, ce même astronome a vu le corps céleste B qui apparaît tous les 81 jours. Si on note x le nombre de jours séparant la date cherchée du 27 décembre, comment peut-on déterminer la date de la prochaine apparition simultanée des deux corps ?
Problème 3
La droite, tracée dans un repère (O;i;j), et passant par les points A(1 ;2) et B(-3 ;-5), passe-t-elle par d'autres points à coordonnées entières ? Combien ?
Problème 4
On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier selon la correspondance habituelle : (A:0 ; ... ; Z:25). On chiffre tout nombre entier x compris entre 0 et 25 en calculant 11x + 8, puis en calculant le reste y de la division euclidienne de 11x + 8 par 26. L'entier x est alors codé par y. Selon ce procédé de codage, quelle lettre va se coder en la lettre J ?
