L'étude d'une famille de paraboles est un problème classique revisité ici par les TICE. L'intervention du calcul formel permet de s'affranchir des difficultés techniques pour mieux se concentrer sur la conduite du calcul et sur le sens de l'équation d'une droite.
Enoncé (résumé)
Etude d'une famille de paraboles.
Première partie : exploration de la situation.
Soit P le polynôme défini par :
On appelle (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal .
1. Dans toute cette partie, on se place dans le cas particulier où m = 11.
1)Etude algébrique.
a) Réécrire alors P(x) : P(x) = b) Résoudre, par le calcul, P(x) = 0
2)Approche numérique : le tableur.
a) Construire, à l'aide d'un tableur, le tableau de valeurs de P sur l'intervalle [-10 ;10] par pas de 1. b) Représenter, sur la même feuille de calcul, la courbe (C) sur [-10 ;10].
2. On souhaite maintenant pouvoir faire varier m.
1) Un cas particulier...La courbe (C) est-elle toujours une parabole ? 2) On se place dans les cas où (C) est une parabole. Modifier la feuille de calcul précédente de façon à ce que :
* L'utilisateur puisse modifier m : le tableur recalculera alors toute la feuille (le tableau de valeurs et la représentation graphique). * La feuille donne le discriminant du polynôme. * La feuille donne les solutions éventuelles de l'équation P(x) = 0 (On ne cherchera pas, par d'éventuels tests, à éliminer les erreurs liées aux cas où le discriminant est négatif).
Vérifier votre feuille en prenant m = 11... 3) Exploitation de la feuille de calcul. Est-il possible de choisir m de façon à ce que l'équation P(x) = 0 admette :
a) Deux solutions distinctes ? (exemple : m = ) b) Une unique solution (exemple : m = ) c) Aucune solution (exemple : m = )
4) Retour sur l'algèbre : à faire pour la prochaine séquence sur feuille... En exprimant, en fonction de m, le discriminant de P, déterminer selon les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation P(x) = 0. Vérifier la cohérence de votre étude avec les résultats de la question 3).
Seconde partie : Etude d'un lieu
(Grapheur pour conjecturer, calculateur formel pour confirmer !)
P est le polynôme défini par :
On appelle (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal
1)Utiliser le grapheur Sinequanon pour représenter notre famille de courbes : bien réfléchir aux échelles et à l'intervalle dans lequel évolue m...
2)Lorsque (C) est une parabole, on appelle Sm le sommet de (C). Conjecturer, à l'aide du graphique obtenu précédemment, le lieu des points Sm lorsque m parcourt .
3)A la main et avec le calculateur formel ...
a)Déterminer, à la main, en fonction de m, l'abscisse xS de S : b)En déduire, à l'aide du calculateur formel, l'ordonnée ys de S en fonction de m . c)Prouver que la conjecture faite à la question 2) est juste...
Déroulement du scénario
On trouvera en annexe la description complète de la première partie
Déroulement de la deuxième partie : réflexions autour du calcul formel.
La majorité des élèves conjecturent rapidement la nature du lieu , mais beaucoup éprouvent une certaine difficulté à en déterminer une équation. Ils y arrivent par lecture graphique sur l'écran mais ne pensent pas à calculer les coordonnées de sommets par le calcul. C'est pourtant ce qu'ils finissent par faire pour consolider leur conjecture. Quand m=2,
Quand m= 1,
On arrive donc à la conjecture : les sommets semblent se trouver sur la droite d'équation
Il reste à établir une preuve : les élèves élaborent une stratégie de calcul « il nous faudrait les coordonnées de S et ensuite on remplacera dans l'équation de la droite pour voir si cela marche bien...Pour avoir l'abscisse de S on utilise ">
Et là le calcul formel intervient :
Les élèves ont élaboré une stratégie, ils ont identifié leurs besoins de calculs , ils ont décidé la nature du calcul à faire et ils délèguent au logiciel la réalisation technique de ces tâches .
Le logiciel de calcul formel n'est pas utilisé sous forme de boîte noire mais simplement comme un exécutant de taches techniques. L'élève, lui, est aux commandes et il adore.
Le logiciel de calcul formel permet de traiter des problèmes comportant des calculs compliqués (qui ne seront pas refaits à la main) : on valorisera alors les initiatives prises dans la conduite du calcul.
Le calcul formel apparaît ici comme une aide technique qui permet à l'élève de mieux comprendre le sens d'une notion mathématique (ici la notion d'équation de droite).
Compétences expérimentales
Construire une feuille de calcul en respectant un cahier des charges précis. Prendre l'initiative de faire des adressages relatifs et absolus (distinction entre le statut de variable et celui de paramètre) Utiliser différents paramètres construits sur une feuille de calcul pour explorer une situation. Utiliser les paramètres construits sur une feuille de calcul pour accompagner une stratégie de recherche. Tester la robustesse d'une conjecture. Prendre l'initiative d'utiliser un grapheur pour visualiser une famille de courbes et conjecturer un lieu. Prendre l'initiative de déléguer à un logiciel de calcul formel une tâche calculatoire dont on connaît la nature mais dont on ne maîtrise pas la difficulté. Piloter un logiciel de calcul formel après avoir identifié le besoin de calcul et la stratégie à suivre. Prendre l'initiative de s'affranchir de certains calculs difficiles confiés au calculateur pour se concentrer sur une stratégie et mieux comprendre le sens d'une notion mathématique.
et de la partie 2
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