matrice associée à une transformation du plan et sa réciproque
Plusieurs motivations : correspondance équation matricielle et système d'équations linéaires ; produit matriciel comme une action géométrique ; interprétation matricielle d'un problème géométrique pour donner du sens à l'inversion d'une matrice.
Cette proposition d'activité peut être envisagée sous plusieurs motivations :
travailler la correspondance équation matricielle et système d'équations linéaires (question 5) ;
penser le produit matriciel comme une action géométrique (ensemble de l'activité) ;
utiliser l'interprétation matricielle d'un problème géométrique pour donner du sens à l'inversion d'une matrice (questions 6bc).
Le plan est muni d'un repère orthonormé
On considère la transformation géométrique du plan qui à tout point M de coordonnées
associe le point N de coordonnées :
.
1. Définir un point M du plan par ses coordonnées, et calculer les coordonnées du point image N par cette application.
2. Recopier le programme en Python ci-contre .
Que permet-il de faire ? (Vous pouvez compléter les commentaires)
3. On souhaite maintenant observer l'image d'un carré par cette application. Modifier le programme ci-contre pour qu'il choisisse au hasard 10000 fois un point dans un carré de côté 10 unités, et affiche son point image par cette application. Que constate-t-on ? Peut-on obtenir n'importe quel point du plan par cette application ?
4. A l'aide d'un système d'équations linéaires, montrer qu'il existe un unique point M dont l'image par cette application est N(4 ; 5). Donner ses coordonnées.
Remarque : D'une façon générale, pour un point quelconque N
du plan, on peut montrer qu'il existe un unique point M dont l'image par cette application est N. Les coordonnées du point M sont alors données par les formules :
5. Déterminer la matrice A telle que le système d'équations
soit équivalent à l'égalité :
De même, déterminer la matrice B telle que le système
soit équivalent à l'égalité :
6.
a. Entrer les matrices A et B dans votre calculatrice.
Casio
TI
Numworks
- accéder au menu RUN-MAT - appuyer sur F3 (>MAT) - sélectionner une matrice (Mat A, Mat B, …) et entrer ses dimensions, puis ses coefficients. La matrice est mémorisée ; lors des calculs, appeler la matrice A par SHIFT 2 ALPHA A
- appuyer sur la touche Matrice - grâce à la flèche droite, accéder au menu EDIT - sélectionner une matrice ([A], [B], …) et entrer ses coefficients. La matrice est mémorisée ; lors des calculs, appeler la matrice A par la touche Matrice et choisir [A]
- Appuyer sur la touche "Boîte à outils" - Sélectionner le menu "Matrice" - Sélectionner le premier choix obtenu [[1, 2] [3,4]]
b. A l'aide de la calculatrice, calculer :
c. Calculer alors la produit matriciel
Le résultat obtenu est-il normal compte tenu de ce qu'il représente géométriquement ?
Des éléments de réponses à lire dans la fiche associée, en téléchargement ci-dessous.
