Priorités pédagogiques et outils de positionnement pour la période septembre-octobre pour la classe de 6e : proportionnalité.
En cycle 3, la proportionnalité est présente dans chacun des trois thèmes du programme. Le travail sur la proportionnalité mobilise essentiellement deux compétences mathématiques :
« Modéliser » : utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou encore reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations de proportionnalité.
« Calculer » : calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées ou encore contrôler la vraisemblance d’un résultat.
Thème « Nombres et calculs » : « Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité. Appliquer un pourcentage. »
Les thèmes « Grandeurs et mesures » et « Espace et géométrie » offrent des occasions de modéliser des situations par la proportionnalité. La classe de sixième conclut ce cycle 3 et vise donc à asseoir ces notions déjà travaillées lors de deux années précédentes.
Concernant la proportionnalité : Les repères annuels de cycle 3 indiquent pour les classes de CM1, CM2 et 6e (de gauche à droite dans le tableau)
Cela suppose que le travail amenant à compléter la connaissance d’une fraction comme un partage par celle d’une fraction comme nombre peut débuter très rapidement.
Questions flash
Compléter : 3×…=27
Des calculs dont la solution est un nombre entier permettent peu à peu de faire le lien avec 27÷3=9.
Compléter : 3×…=10,5
Cela sera accentué par des calculs amenant à une solution décimale « simple » mais non immédiate.
Compléter : 3×…=22
Ce type de question peut rester sans réponse pendant quelques temps : il s’agit de mettre en évidence un manque, aucun des nombres étudiés à l’entrée en 6e ne convient.
Calculer : 3×2 dixièmes
Ce type de question peut être mis en œuvre dès les premières séances de l’année dans le cadre de la numération par exemple.
Calculer : 4×1 huitième
Ce type de question peut également être traitée avec un schéma support, en s’appuyant sur la notion de fraction-partage.
Calculer : 2×7 cinquièmes
Dans un premier temps, il pourra être intéressant de faire vivre deux représentations de réponses : 14 cinquièmes ou 2,8. Cela favorise la construction de la « fraction-nombre ».
Calculer : 3×9 septièmes
Calculer : 7×5/6
Dans un second temps, ce type de calcul comme le suivant amène à construire une troisième représentation des nombres : sous forme de fractions.
Situations de proportionnalité telles que : 3 kg de pommes coûtent 10,50 euros, combien coûtent 5 kg de pommes.
Point d’attention :
Comme souvent, on peut utiliser des procédures diverses :
retour à l’unité
passage par des valeurs « intermédiaire »
utilisation du coefficient de proportionnalité
Comme souvent, on peut mobiliser des représentations diverses :
Des phrases :
3 kg de pommes coûtent 10,50 €
6 kg de pommes coûtent 2 fois plus que 3 kg de pommes : 10,50 € × 2 = 21,00 €
1 kg de pommes coûtent 3 fois moins que 3 kg de pommes : 10,50 € ÷ 3 = 3,50 €
5 kg de pommes coûtent autant que « 6 kg moins 1 kg » : 21,00 € - 3,50 € = 17,50 €
Des écritures algébriques : 3 kg × … €/kg = 10,5 €
Des tableaux :
On peut préparer aussi le sens qui pourra être donné plus tard au produit en croix, comme application d’un coefficient de proportionnalité.
Ces préalables sont la plupart du temps nécessaires avant d’aborder des agrandissements de figures par des coefficients fractionnaires (de type figure de Brousseau) qui pourront par ailleurs être abordés en cycle 4. Construire des triangles, des carrés, des rectangles de périmètres doubles ou triples par exemple relève du cycle 3 : Reproduire une figure en respectant une échelle donnée (thème « Espace et géométrie »).
Deux aspects essentiels pour la formation des élèves :
Il est délicat de parler de proportionnalité en ne rencontrant que des situations de proportionnalité. Des situations de non proportionnalité permettront de construire une représentation plus juste et plus fiable de cette notion. Quelques questionnements possibles : Le modèle de proportionnalité est-il adapté à la situation proposée ? Qu’est-ce qui valide ce modèle ici ? Quel est le domaine de validité de ce modèle ? Quel est l’intérêt de modéliser une situation par la proportionnalité ? Existe-t-il d’autres modèles mathématiques utiles ? Qu’appelle-t-on un tableau de proportionnalité ?
Dans le cadre des modélisations, de nombreux implicites vivent dans les manuels, dans les énoncés, dans les activités et dans les différentes disciplines. Il est nécessaire de discuter et d’expliciter ces éléments avec les élèves pour leur permettre de développer la compétence « Modéliser ».
