- tous niveaux
- non précisé
- non précisé
Enseigner l'algèbre au cycle 3
Le labomaths de la circonscription de Saint Sébastien sur Loire s’est lancé, cette année, dans un travail autour de l’enseignement-apprentissage du préalgèbre et de l’algèbre au cycle 3 suite aux nouveaux programmes de 2025.
Mise en œuvre
Le groupe s’est donné comme but de concevoir une séquence de l’enseignement de cette notion. Une progression d'apprentissage sur les patterns a été réalisée. Plusieurs activités clés en main ont été testées dans nos classes et analysées avec Sylvie Grau, la chercheuse qui nous accompagne.
Dans cet article, nous partageons avec vous :
- nos fiches de préparation,
- le matériel associé,
- nos analyses a posteriori.
Les expérimentations effectuées dans nos différentes classes et les productions de nos élèves ont permis de mesurer l’impact de nos choix sur les apprentissages des élèves.
Nous espérons que vous trouverez dans cet article quelques idées pour mettre en œuvre des activités que vous avez certainement déjà rencontrées.
Vos retours et vos propres expérimentations sont les bienvenus, n’hésitez pas à nous en faire part en écrivant à fabienne.janniere@ac-nantes.fr
Séance 1 et 2 : les pyramides et les carrés
Documents complémentaires
Objectifs d’apprentissage
- Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
- Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
- Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive
Présentation aux élèves
Aujourd’hui nous allons travailler sur des séries de figures et chercher des règles pour construire ces séries. Voici la première série. Vous allez dans un premier temps
compléter les motifs 4 et 5 puis trouver une règle pour passer d’un motif à un autre.
Vous allez d’abord réfléchir tout seul puis échanger avec votre voisin et enfin, nous regarderons ensemble ce que vous avez répondu.
Pour que nous puissions bien comprendre comment vous avez fait, il est important de laisser sur la fiche la trace de votre pensée (dessin, calcul, etc.)
compléter les motifs 4 et 5 puis trouver une règle pour passer d’un motif à un autre.
Vous allez d’abord réfléchir tout seul puis échanger avec votre voisin et enfin, nous regarderons ensemble ce que vous avez répondu.
Pour que nous puissions bien comprendre comment vous avez fait, il est important de laisser sur la fiche la trace de votre pensée (dessin, calcul, etc.)
Étape 1 : Identifier les régularités pour poursuivre une suite.
Les élèves prennent connaissance de la situation. Ils cherchent individuellement pendant 5 minutes puis peuvent échanger avec leur voisin pour vérifier et se mettre
d’accord.
- Situation des pyramides
Mise en commun.
Garder une trace de la règle : 1 / +3 / +5/ +7 / +9 /…
J’ajoute deux carrés de plus que l’étape précédente.
C’est le PE qui valide la règle qui sera la même tout le temps.
On peut imaginer continuer la suite au-delà du motif 5.
Attention : Il existe deux façons de construire
- Soit en ajoutant autour du motif
- Soit en ajoutant une ligne en bas
- Situation des carrés
Mise en commun.
Garder une trace de la règle : 1 / +3 / +5/ +7 / +9 /…
J’ajoute deux carrés de plus que l’étape précédente.
Faire remarquer aux élèves qu’il s’agit de la même règle. Faire le lien pyramide / carré.
Documents complémentaires
Étape 2 : Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive
Les élèves utilisent une fiche de recherche pour trouver directement le nombre de carrés et expliquer pourquoi ils sont sûrs que leur règle fonctionne.
Mise en commun
On peut appliquer la même règle que pour le carré :
on multiplie le numéro du motif (c’est ici la hauteur de la pyramide) par lui-même.
Garder une trace de la règle :
on multiplie le numéro du motif (c’est aussi la longueur du côté) par lui-même
Bilan
Dans ces deux suites de motifs, pour connaitre le nombre de carrés nécessaires pour chaque motif, on peut
- Ajouter deux carrés de plus que l’étape précédente 1 / +3 / +5/ +7 / +9 / +11 / + 13 / …
- Multiplier le numéro du motif par lui-même côté x côté
C’est plus efficace pour connaitre le nombre de carrés pour construire un motif éloigné dans la série par exemple.
Analyse de la séance
Analyse des séances 1 et 2
Séance 3 : les allumettes
Objectifs d’apprentissage
- Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
- Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
- Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive
Contexte de la séance
Cette séance est la troisième de la progression autour des patterns.Les élèves ont déjà travaillé autour du carré, de la pyramide et des triangles à compléter avec en première étape la recherche du passage d’une étape à l’autre puis de trouver le nombre d’éléments à une étape donnée.
Situation proposée
On propose ici une troisième séance qui a une règle différente.On représente, étape par étape, des maisons à l’aide d’allumettes :
Les élèves doivent comprendre la récurrence puis trouver le moyen d’obtenir le nombre d’allumettes à n’importe quelle étape. => On attend une formulation littérale pas forcément sous forme mathématique.
Déroulement de la séance
Présentation du problème :On représente par étape des maisons à l’aide d’allumettes :
- Chaque élève a une feuille de classeur sur laquelle il pourra faire sa recherche.
- Une moitié d’élève reçoit la suite sous forme de tableau en ligne et l’autre moitié sous forme de tableau en colonne. Cela nous permettra de vérifier si cette différence de présentation induira des différences de perception pour les élèves.
- Je ne donne que le tableau avec les trois premières étapes et une case pour l’étape 4.
1) Complète l’étape 4 et indique pour chaque étape le nombre d’allumettes nécessaires au total.
→ Mise en commun
2) Maintenant, je vais vous demander de prédire, sans dessiner, le nombre d’allumettes nécessaires pour construire l’étape 5. Je vous laisse quelques minutes pour écrire sur votre document le nombre d’allumettes qui vous semble juste. Attention, je vous demanderai bien sûr de m’expliquer.
→ Mise en commun
Lors de la mise en commun, les élèves donnent leur réponse et expliquent pourquoi (on peut noter les réponses sur le tableau de droite).
La validation se fait ensuite en comptant les allumettes à l’étape 5.
A cette étape, on revient sur la construction de la séquence en repassant à chaque étape sur les allumettes supplémentaires d’une couleur différente, mais on utilise toujours la même couleur.
Cela devrait permettre de construire le passage d’une étape à l’autre avec le +4 allumettes.
En fonction des interventions des élèves, on construit la trace écrite
A chaque étape, on utilise des couleurs différentes pour ajouter les allumettes et traduire les phrases (j’ajoute…).
3) Je vais maintenant vous demander de trouver pour l’étape 10 combien d’allumettes sont nécessaires. Et de m’expliquer pourquoi.
- Pour les élèves qui utilisent la proportionnalité avec le doublement du nombre d’allumettes, il est possible de leur faire éprouver leur théorie avec le passage de l’étape 1 à l’étape 2. 9 n’est pas le double de 6.
- Pour les élèves les plus rapides, leur demander ensuite de chercher pour l’étape 100. Leur demander d’écrire la règle.
→ Mise en commun
Les élèves exposent leur solution. Et ensemble on trouve une façon d’expliquer la règle :- Toutes les maisons contiennent quatre allumettes, sauf la première qui en contient cinq. On a donc les cinq allumettes de la première maison et 4 x (n-1) allumettes pour les autres maisons. La formule est donc : 5 + 4 x (n – 1)
- Toutes les maisons contiennent quatre allumettes, sauf la première qui en contient cinq, donc on compte 4 x n et on ajoute la cinquième allumette de la première maison. La formule est donc : 4 x n + 1
- On considère que toutes les maisons ont cinq allumettes, donc on a au total 5 x n allumettes. Puis on enlève une allumette par maison, sauf pour la première. La formule est donc : 5 x n – (n – 1)
Analyse de la séance
Analyse de la séance 3
Séance 4 : les suites de nombres
Objectifs d’apprentissage
- Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
- Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
Contexte de la séance
Cette séance est la quatrième de la progression autour de l’initiation à la pensée algébrique. Les élèves ont déjà travaillé autour du carré et de la pyramide et des triangles à compléter avec en première étape la recherche du passage d’une étape à l’autre puis de trouver le nombre d’éléments à une étape donnée.Ils ont aussi travaillé sur une suite de maisons construites à l’aide d’allumettes avec recherche du suivant, puis d’un motif éloigné dans la suite en généralisant la règle de calcul.
Situation proposée :
On propose ici une quatrième séance autour des suites numériques permettant aux élèves de mettre en œuvre les compétences développées lors des dernières séances à savoir chercher le modèle de récurrence d’une suite, mais également formuler ce modèle de récurrence.
Déroulement de la séance :
Rappel des séances précédentes avec les patterns géométriques et les objectifs que nous avions :
- Trouver la règle pour passer d’un rang à un autre
- Trouver la règle pour trouver directement le rang dans certains cas (pyramide)
Expliquer que dans cette séance, nous allons travailler à : - Trouver une règle pour passer d’un rang à un autre
- Mais aussi écrire cette règle de façon claire et précise pour que quelqu’un qui n’a pas les données puisse écrire la suite.
- Le travail ne se fera pas avec des formes géométriques, mais avec des suites de nombres.
Un exemple en classe entière
Proposer la suite aux élèves avec les carrés d’un nombre.- Demander aux élèves de trouver la récurrence
→ Mise en commun - Demander d’écrire la règle de façon claire pour que quelqu’un n’ayant pas les chiffres puisse la faire.
→ Mise en commun
Certains vont écrire avec des mots et peut-être que d’autres iront vers des écritures plus mathématiques. Ecrire les différents messages au tableau pour servir d’exemple et permettre de mettre en évidence la relation entre écriture mathématique et écrire littérale.
Jeu des messages secrets
Les élèves sont répartis en quatre groupes. Chaque groupe devra en parallèle effectuer la même tâche sur des suites différentes.
Les étapes à réaliser sont les suivantes :
1) Mission 1 : Le premier groupe doit trouver la règle correspondant à la suite, et l’écrire pour la transmettre au groupe 2.
2) Mission 2 : A l’aide du premier élément de la suite et la règle énoncée par le premier groupe, les élèves du groupe 2 doivent reconstituer les 8 premiers motifs.
3) Mission 3 : Avec les 8 premiers motifs trouvés par le groupe 2, les élèves du groupe 3 doivent énoncer une règle pour la transmettre au dernier groupe.
4) Mission 4 : Le dernier groupe reçoit la règle et doit écrire les 8 premiers motifs de la suite.
NB1. Les séries sont à imprimer sur 4 couleurs différentes.
NB2.Pas seulement des suites croissantes et tout le monde a le nombre de départ
A la fin de ce parcours, les fiches sont dévoilées afin de vérifier si les suites sont identiques. La mise en commun vise à vérifier si les deux groupes ont énoncé la même règle et si les deux groupes ont écrit la même suite.
Si ce n’est pas le cas, relever ensemble les moments où il y a eu une différence ou une erreur ou une incompréhension.
Mettre en relation les explications et les actions, et mettre en avant les différentes façons d’expliquer.
Cela peut permettre de mettre en avant les différentes façons de transmettre une règle (par des phrases, des calculs…) et peut-être de vérifier qu’il peut y avoir différentes interprétations d’une suite et qu’il n’y a pas qu’une seule règle qui peut se justifier.
Conclusion : qu’a-t-on appris ?
On a appris à résoudre une suite arithmétique, trouver une règle pour poursuivre une suite de nombre et surtout à expliquer de façon mathématique et littérale.Remarques
- Je propose la suite avec les carrés pour la première partie, car c’est la règle qui était apparue lors des premières séances. Cela pourrait être plus rapide à trouver.
- J’ai pris le parti de ne pas mettre en jeu le numéro de motif pour ne pas ajouter de difficultés lors de l’écriture des règles.
- J’ai proposé une suite décroissante, une autre avec une règle proposant une alternance un sur deux.
auteurs :
Laboratoire inter-degrés Saint Sébastien Sur Loire (SSSL) - Saint Sébastien sur Loire
Mots clés :
Information(s) pédagogique(s)
Niveau :
tous niveaux
Type pédagogique :
non précisé
Public visé :
non précisé