S’approprier le théorème de Pythagore en 4e en s’appuyant sur une œuvre d’art
Le travail sur l’œuvre prend place au cours de la séquence sur Pythagore.
J. Adam explique : « Au départ, une séance de 1h30 est prévue avant les vacances ; au final une autre séance pour se remettre en route et pour avancer dans l’appropriation du théorème est mise en place au retour des vacances. »
Les deux œuvres de J.-L. Mauguin sont imprimées en vraies grandeurs (format A3) et sont mises à disposition sur le tableau blanc en plusieurs exemplaires. Cela permet aux élèves d’aller mesurer sur place les informations qu’ils penseraient utiles.
La consigne suivante est proposée :
L’œuvre ci-contre de Jean-Luc Mauguin s’appelle « Pythagorean equivalence – 125 »
En observant et en analysant deux œuvres reproduites en vraie grandeur, relève les défis suivants :
Défi ① : Réaliser une autre œuvre sur le même principe et lui donner son nom.
Défi ② : Trouver le nombre d’œuvres construites sur le même principe et dont le nom serait inférieur à « Pythagorean equivalence – 400 ». »
Deux grandes étapes pour résoudre le défi ① sont nécessaires :
Étape 1 : Comprendre le titre
Cette première étape est déjà complexe comme l’explique l’enseignant : « Le titre est certes en anglais, mais l’on reconnaît le nom Pythagore et c’est une des notions du moment. Les élèves ont à comprendre le 125 dans le titre qui est la somme de deux carrés 10² et 5² ainsi que de 2² et 11², ce qui donne deux triangles rectangles de même hypoténuse ».
Étape 2 : Trouver une autre situation
Plusieurs autres difficultés sont rencontrées. Les petits carrés ont des côtés de longueur 2 cm et non 1 cm ce qui empêche le lien immédiat lorsque l’on mesure. Il s’avère que le carré supplémentaire sur le sommet de l’angle droit apporte une autre difficulté non identifiée au départ. Le problème imaginé simple ne l’est pas autant que cela. Des aides sont données au fur et à mesure de la séance.
L’enseignant présente la démarche où les élèves vont essayer d’avancer en groupe et en autonomie et où le rôle de l’enseignant va être d’observer, de se déplacer, de donner des « coups de pouce » et indices aux élèves pour leur permettre de dépasser les blocages et difficultés. Il détaille la séance en classe ainsi :
« Les élèves prennent le temps de lire la consigne, échangent entre eux. Ils restent globalement assez dubitatifs. La réponse au défi ① n’est pas immédiate.
Ils commencent à se lever et ils viennent prendre des mesures sur les œuvres affichées au tableau.
Dialogue entre deux élèves :
« Tu vois, il y a deux trangles rectangles.
- Mais comment le sais-tu ?
- Avec mon équerre ».
Je fais un tour de classe, je regarde les traces des cahiers. Ils ne prennent pas correctement en compte la dimension d’un carré, à savoir 2 cm de côté. Ils ne risquent donc pas de trouver le lien entre les mesures et le nombre 125. Certains élèves essaient d’intégrer cette donnée dans les calculs.
Les mesures prises en compte dans les calculs sont celles des triangles extérieurs et non intérieurs.
15 minutes se sont écoulées, les élèves mesurent, calculent…
J’interviens dans les groupes en précisant que tout le monde doit travailler, que ceux qui ont une idée ont à la partager aux autres pour qu’ils puissent démarrer quelque chose.
Je décide de donner un indice à toute la classe :
« Vous avez bien compris qu’il s’agit d’exploiter le théorème de Pythagore par contre vous faites fausse route avec les carrés qui ont une mesure de 2 cm de côté. Je vous propose d’imaginer l’œuvre avec des carrés de 1 cm de côté, vous devriez trouver le lien entre les carrés et le titre. »
Je laisse passer du temps, j’observe à nouveau les cahiers. De bonnes idées commencent à arriver. Des élèves restent toujours bloqués sur le triangle extérieur.
La première étape est résolue, elle a globalement nécessité 1h.
Pour la seconde étape, les élèves réalisent des croquis (des triangles rectangles) et calculent des carrés d’hypoténuse.
En passant dans les rangs, ils me signalent que « c’est long », « il y a beaucoup d’essais à faire », « vous êtes sûr qu’il y en a d’autres ? ».
Un élève trouve une solution. Je l’annonce à toute la classe. Cela motive la recherche.
J’affiche son dessin, puis un autre…
La première séance se clôt avec deux propositions, une appropriation me semble-t-il de la propriété de Pythagore. Certains élèves veulent terminer à la maison pendant les vacances. »
Au retour des vacances J. Adam a fait le choix de proposer une seconde séance d’1h30 pour prolonger ce travail ; il propose 5 nouvelles situations à chaque groupe pour vérifier que les informations identifiées avant les vacances sont toujours là et proposent aux élèves d’en trouver une autre.