des contre-exemples au collège

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

• $N^2+N+41$ est premier pour tout entier $N\mathrm{}$ naturel. Cela fonctionne pour $N<40$


• $2N^2+29$ idem pour $N<29$ (http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html)
   
• Un nombre divisible par 3 est forcément impair.
   
• Un nombre qui se termine par 3 est divisible par 3.
   
• Un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 7 est divisible par 7.
   
• 3 est-il un nombre ?
   
• Réfuter un critère de divisibilité tentant.
  « Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, c’est-à-dire s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8».
  Lorsqu’on demande alors un critère de divisibilité par 3, on obtient parfois (pour ne pas dire souvent) :
  « Un nombre est divisible par 3 s’il est impair »
  ou encore « Un nombre est divisible par 3 s’il se termine par 3 ; 6  ou 9 ».
  
  Dans ces deux propositions, un contre-exemple suffit pour montrer que cela ne convient pas :
  « Essayons avec 13 » …
   
• Quels sont les diviseurs de 60 ?
  On a 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 qui marchent.
  Quel est le suivant ? la valeur 7 est tentante, mais un test rapide permettra de vérifier que cela ne convient pas.

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

• $2^3$ = 2 000
  On rencontre de fréquentes confusions entre $2^3$ et $2\times {10}^3$ par exemple.
  Le retour à la définition permet de corriger cette erreur de représentation dans le calcul avec les puissances.
   
• Si on a $n^2=9$ alors $n=3$.
  Un retour (et donc une anticipation) sur la règle des signes permet de vérifier que ${\left(-3\right)}^2=9$ et donc que -3 convient aussi.
   
• Calcul fractionnaire : $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{6}$
  Si ce calcul pose problème à bon nombre d’élèves en dehors de tout contexte, chaque élève sait calculer :
      Un demi gâteau + un quart de gâteau
      Une demi-heure + un quart d’heure
  
  Par ailleurs, la mise en mots donne des contre-exemples facilement exploitables :
      2 dixièmes + 4 dixièmes = 6 dixièmes.
      2 cinquièmes + 4 dixièmes = ?
  
      2 fruits + 4 fruits = 6 fruits
      2 pommes + 4 poires = ?

Les quadrilatères

• Comment appelle-t-on un quadrilatère ayant 4 côtés de la même longueur ?
  Il y a fort à parier que beaucoup d’élèves répondront « un carré » !
  Une figure de losange suffit à contredire cette affirmation.
   
• Comment appelle-t-on un quadrilatère ayant les diagonales perpendiculaires ?
  Là encore, on peut avoir carré ou losange.
   

• Un quadrilatère ayant 3 côtés égaux est-il toujours un losange ?

 

• Un carré n’est pas un rectangle.

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Si je double la longueur d’un solide son volume est multiplié par 2. (exemple maths/sciences sur le « meilleur pâtissier »)

Milieu ou pas milieu ?

I est le milieu de [AB] => IA = IB mais IA=IB => I appartient à la médiatrice de [AB] et non I est le milieu de [AB]

 

Transformations : voir des transformations non isométriques
     Projection stéréographique (https://thetruesize.com) orthogonale.
     Ci-dessous l'image d'une droite par rapport au point O, intersection du segment reliant le point M dont on cherche l'image au centre d'un cercle avec le cercle...

Droites parallèles, droites sécantes dans le plan

• Droites sécantes : deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun, et un seul.
• Droites parallèles : deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne sont pas sécantes.
   

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

• $3x<7x$ pour tout $x$ réel
• Si $x<3$ alors $x^2<9$
• $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$

• Augmentation successives de pourcentages
• Histogrammes à pas non constant
• Médianes/moyennes
   

• Pour comprendre ce qu’est une fonction il faut avoir vu des exemples de non-fonction, un cercle par exemple