Présentation de quelques programmes autour du logarithme...
Des méthodes utilisées par Briggs pour déterminer le logarithme décimal d’un nombre. Approximation de ln(2) par dichotomie selon la méthode de Brouncker.
Henry Briggs (1561-1630) a donné les premières tables à 8 décimales puis à 14 décimales du logarithme en base 10. Pour cela il a utilisé plusieurs méthodes.
Une première méthode, proche de celle employée par Neper, consiste à calculer le logarithme en base 10 des nombres entre 1 et 10 en comparant une suite géométrique et une suite arithmétique. Tant qu'une des bornes n'est pas proches de la valeur souhaitée, on détermine deux suites : l'une géométrique converge vers le réel
dont on souhaite le logarithme décimal. A partir de deux bornes A et B (initialisées à 1 et 10), on calcule la moyenne géométrique de A et B et on la compare à
. Si
est plus grand que cette moyenne, on l’affecte à A, sinon c’est à B qu’on affecte la moyenne géométrique. L’autre arithmétique converge vers le logarithme décimal de
. On calcule pour cela la moyenne arithmétique de logA et logB, deux variables initialisées à 0 (c’est-à-dire log(1)) et à 1 (c’est-à-dire log(10)). Un second « algorithme de Briggs », se base sur l’approximation suivante :
environ égal à
lorsque le nombre
est suffisamment petit. Attention
est un nombre réel plus grand que 1. Pour « rendre »
petit, on prend les racines carrées successives de
(que Briggs savait calculer) et on utilise donc
un certain nombre de fois. (Par exemple pour
= 4, l’algorithme réitère 67 fois l’opération).
Dans les deux cas, Briggs détermine un logarithme décimal. On peut calculer le logarithme népérien en utilisant log(10) ou le nombre
Algorithme de Brouncker
Le principe est de « découper » l’aire sous l’hyperbole entre les droites d’équation
= 1 et
= 2 comme ci-dessous
La méthode de Brouncker (publiée probablement en 1668) est donnée par :
soit
Un autre programme est proposé à partir d’une formule démontrée par Wallis dans la seconde partie du XVIIème siècle :
(prémices du développement limité correspondant) On retrouve la méthode de Brouncker dans le cas particulier où
= 1 en remarquant que :
. Ces deux méthodes donnent des approximations différentes malgré l’emploi de la bibliothèque « decimal ».
Un troisième algorithme est proposé permettant de déterminer une valeur approchée de ln(2) en la comparant à celle stockée par la bibliothèque. On peut ainsi remarquer que la méthode proposée par Brouncker ne donne pas une approximation « rapide » de ln(2). Il faut en effet 250 itérations pour obtenir une approximation au millième.
Remarquons que les noms Brouncker et Wallis sont connus pour d’autres calculs. La formule de Brouncker donne une approximation de
