Lieu d'un orthocentre

On considère un cercle de centre O et de diamètre [AB]. Sur ce cercle , on place un point fixe C et un point mobile M.
Tracer l'orthocentre H du triangle ACM.
Quel est le lieu géométrique décrit par H quand M décrit le cercle ?

Découvrir l'existence et la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point H .
Conjecturer la nature du lieu géométrique du point H quand M décrit le cercle privé des points A et C .
Démontrer cette conjecture.

Les élèves travaillent avec géogébra . Ils n'ont pas de mal à construire une figure dynamique : les notions de point fixe et point mobile sur un cercle ont déjà été rencontrées ainsi que l'utilisation des outils de construction.
En faisant bouger le point M sur le cercle () de diamètre [AB], ils s'aperçoivent que le point H décrit un cercle. Pour mieux visualiser ce cercle, ils demandent une trace active du point H. Ils découvrent que H semble se déplacer sur un cercle de même rayon que (). Il reste à découvrir le centre de ce nouveau cercle.
Certains élèves, voulant sans doute tester des cas particuliers, se demandent ce qui se passe quand M est en A ou en C.
D'autres commencent à repérer des invariants : « la distance entre H et M, elle ne bouge pas » . Puis encore mieux : « le vecteur est fixe » et enfin « le vecteur est toujours égal au vecteur ». Cette idée est consolidée en activant la trace du vecteur .
Le mot translation apparaît. Le point H est sans doute l'image du point M par la translation de vecteur .
Certains ont tracé le quadrilatère MHCB : cette idée est communiquée à l'ensemble de la classe.
Le quadrilatère MHCB ressemble tout à fait à un parallélogramme.

Les idées pour établir la preuve de ce résultat sont longues à venir : dans ce contexte, les élèves ont du mal à reconnaître les propriétés d'un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [AB] et à utiliser les propriétés de l'orthocentre. Ainsi les droites (BC) et (MH) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AC) et il en est de même pour les droites (CH) et (BM) qui sont toutes les deux perpendiculaires à (AM).

Il reste à rédiger en tenant compte des cas particuliers évoqués plus haut (M distinct de A et de C)

Avec Géogébra                                

• Expérimenter une situation de géométrie dynamique
• Placer un point fixe, un point mobile sur un objet.
• Utiliser les outils de construction d'un logiciel de géométrie dynamique.
• Tester des cas particuliers.
• Prendre l'initiative d'utiliser la fonction trace ou lieu
• Repérer les invariants d'une figure ( ici longueur MH ou vecteur )
• Reconnaître une figure clé dans une situation plus complexe (ici parallélogramme MHCB)
• Enoncer clairement des conjectures.
• Tester la validité d'une conjecture (ici en traçant le cercle (') image de () par la translation de vecteur  et en regardant si le lieu de H coïncide bien avec ('))

• Propriétés d'un orthocentre.
• Reconnaître et utiliser une translation
• Propriété d'un point appartenant à un cercle de diamètre [AB]
• Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
• Prendre en compte les cas où l'orthocentre n'existe pas ( M distinct de A et de C)