A partir d'une figure réalisée sur un logiciel de géométrie dynamique, caractériser un lieu lorsqu'un point évolue sur un cercle.
Fiche élève
Enoncé
Dans le plan P, on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (
) de centre O. Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (
). On associe au point M l'unique point M du plan P défini par l'égalité :
.
Il s'agit de déterminer le lieu géométrique L du point M lorsque le lieu géométrique du point M est le cercle (
).
1. A l'aide d'un logiciel de géométrie plane :
(a) construire les points O, A, B et C, le cercle (
) et un point libre M sur ce cercle. (b) construire le point M associé à M.
Appeler l'examinateur pour une vérification de la construction faite.
(c) En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M ainsi que la nature du lieu géométrique du point M.
Appeler l'examinateur pour une vérification de la figure réalisée et de la conjecture faite.
2.
(a) Déterminer la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M.
(b) Déterminer le lieu géométrique L du point M.
Production demandée
- La figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique. - La justification de la nature de la transformation. - La caractérisation du lieu géométrique de M et sa justification.
Correction
Corrigé du 1) Vérifier que le point M est bien lié au point M.
Difficulté pour les élèves : construire la somme de vecteurs avec geogebra.
Corrigé du 2) :
a) Soit G barycentre de (A,1), (B,3) et (C,2), 1+32=20
équivaut à
donc G est le milieu de [MM] La transformation du plan qui transforme le point M en M est la symétrie centrale de centre G.
b) L'image d'un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon L'image du cercle par la symétrie de centre G est le cercle de même rayon et dont le centre est l'image de O.
L'exercice pourra être redemandé avec d'autres coefficients pour une homothétie de centre G et rapport ...
