Recherche de lieux géométriques

Expérimentation testée en classe de 2nde GT au lycée Rosa Parks de La Roche-sur-Yon 

Résumé de la ressource

• Exemples de situations à faire vivre au lycée permettant de trouver un lieu géométrique respectant une égalité de longueurs, de surfaces ou de volumes.
• Utilisation des outils numériques pour différencier et accompagner la modélisation algébrique d’un problème.
• Utilisation d’aides facultatives pour différencier les énoncés, les processus d’apprentissage et ouvrir les problèmes. 

Énoncés de problèmes proposés aux élèves 

Énoncé 1 : 

[AB] est un segment de longueur 10 cm. On a construit un carré centré en B et un cercle centré en A tels que le carré et le cercle sont tangents en M. 
On cherche la position du point M pour que le carré et le cercle aient le même périmètre.

Énoncé 2 : 

[AB] est un segment de longueur 10 cm. On a construit un carré centré en B et un disque centré en A tels que le carré et le disque sont tangents en M. 
On cherche la position du point M pour que le carré et le disque aient la même surface. 

Énoncé 3 : 

[AB] est un segment de longueur 10 cm. On a construit un cube centré en B et une boule centrée en A tels que le cube et la boule sont tangents en M. 
On cherche la position du point M pour que le cube et la boule aient le même volume. 

Première piste de différenciation : le tableur (pour faciliter les essais et aller vers l’algèbre)

Compétences mathématiques mises en jeu : chercher, calculer, raisonner, modéliser 

Lorsqu’on propose aux élèves (en début de classe de 2nde) un de ces problèmes, on voit souvent deux stratégies, deux entrées dans le problème :
    Stratégie 1 : certains élèves veulent « essayer » avec des valeurs particulières :
Si AM = 1 cm, quels sont les longueurs des périmètres ?
Si AM = 2 cm, quels sont les longueurs des périmètres ?
…
et on peut rechercher par « essais-erreurs » une valeur approchée de la position du point M.

    Stratégie 2 : certains élèves souhaitent modéliser le problème à l’aide de l’algèbre et peuvent être plus en moins en difficulté pour mettre en équation la situation.

Dans les deux cas, le tableur peut être une aide, une passerelle vers l’algèbre :
Exemple de stratégie vu à l’aide du tableur :
 

Conclusion de l’élève : « La position recherchée pour le point M est à une distance comprise entre 5,60 et 5,61 cm du point A »

L’étude des formules utilisées peut permettre d’aller vers l’usage d’une variable 
 

Si j’appelle x la longueur AM : 
    le rayon du cercle est donc x et son périmètre est 2 π x.
    la longueur du côté du carré est 2(10 - x) et son périmètre est 4 × 2(10 - x).
    l’égalité des périmètres est donc traduit par l’équation 2 π x = 8(10 - x). 

Conclusion : le tableur peut aider les élèves à passer de la succession d’essais à la modélisation d’un problème par une équation.

Deuxième piste de différenciation : des indices ou des questions « coups de pouce » 

Compétences mathématiques mises en jeu : chercher, raisonner, modéliser 

Parfois, dans les manuels scolaires ou dans les fiches d’énoncés d’exercices donnés en classe, certains problèmes sont « fermés » par des questions successives guidant la démarche de l’élève.
Ces questions « intermédiaires » peuvent être utiles pour permettre aux élèves bloqués d’avancer mais elles mériteraient de ne pas être données en première intention, pour ne pas orienter a priori la démarche de l’élève.

Dans l’énoncé étudié ici : « [AB] est un segment de longueur 10 cm. On a construit un carré centré en B et un cercle centré en A tels que le carré et le cercle sont tangents en M. On cherche la position du point M pour que le carré et le cercle aient le même périmètre. », il est intéressant de laisser les élèves s’engager sans obliger à une démarche particulière.
Si l’élève peine à démarrer, on peut l’inviter à essayer quelques valeurs pour la distance AM (voir paragraphe 2 ci-dessus), éventuellement aidé d’un tableur. Si la modélisation de problème par l’algèbre a déjà été travaillée et que l’on souhaite ne pas repasser nécessairement par un temps « d’essai-erreur », on peut aussi proposer aux élèves des aides « coups de pouce » ici formulées sous forme de questions pour les accompagner dans la mise en équation du problème. Il peut apparaitre judicieux de donner ces coups de pouce progressivement. Exemple de formulations :

Annexes : Les solutions algébriques des trois problèmes 

Fichiers associés