Dans cette figure plane dynamique, on cherche à placer le point M pour avoir deux aires égales : un logiciel de calcul formel est bien apprécié pour transformer l'écriture d'une expression du second degré .
Enoncé de l'activté
L'unité graphique est le cm. ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] tel que :
, AB=6, AD= 6 , DC=2. M est un point mobile sur le côté [AD]. A partir de ce point M, on définit le rectangle AMNP avec N
[CB] et P
[AB] le triangle PMC.
Où placer le point M pour que l'aire du triangle AMNP soit égale à l'aire du triangle PMC ?
Les élèves construisent une figure dynamique avec Géogébra : ils construisent le point M mobile sur [AD] puis les triangle AMNP et PMC ? Géogébra permet d'avancer la conjecture « x voisin de 2.3 ». Remarquons que le recours à Géogébra ne conduit pas une conceptualisation du problème puisque les aires sont calculées directement.
Dans un deuxième temps, les élèves souhaitent utiliser un tableur ce qui va les contraindre à passer à l'algèbre : ils vont identifier les variables et mobiliser la notion de fonction. Le tableur ne permet pas de progresser beaucoup dans la conjecture. Il faudrait entreprendre un calcul « à la main » mais les expressions algébriques sont peu engageantes pour un élève de seconde. En effet :
et
.
Le recours au calcul formel s'impose.
Certains souhaitent écrire l'expression
sous forme d'un quotient de dénominateur 3 : le logiciel de calcul formel accompagne le calcul et rassure les élèves. Ils continuent en faisant un produit en croix à la main et obtiennent l'équation :
.
D'autres travaillent avec l'écriture
, ils multiplient chaque membre par 3, ajoutent
dans chaque membre, puis ajoutent 3x dans chaque membre, ils développent et obtiennent l'équation :
. Pour vérifier on peut demander à Xcas le calcul de la différence
.
Devant l'équation
, les élèves souhaitent factoriser mais n'y arrivent pas. Ils vont donc confier cette tâche, un peu délicate pour un élève de seconde, au logiciel de calcul formel. L'écriture permet d'obtenir
deux solutions dont une seule appartient à [0 ;6].
On peut conclure que la valeur de x cherchée est
.
On peut aussi inciter les élèves à demander au logiciel une écriture canonique du polynôme
. La suite du raisonnement est intéressante à détailler.
Remarque : la démarche choisie n'a pas été d'utiliser la commande solve (qui ressemble un peu à une boîte noire) mais plutôt d'utiliser une écriture algébrique pertinente (factoriser une expression, écrire un polynôme du second degré sous forme canonique....)
Compétences expérimentales
Prendre l'initiative de construire une figure de géométrie dynamique.
Prendre l'initiative d'utiliser un tableur (ce qui nécessite d'identifier les variables et les fonctions).
Prendre l'initiative de mobiliser le calcul formel pour accompagner des calculs compliqués.
Piloter un logiciel de calcul formel pour obtenir différentes écritures d'une expression algébrique.
