L'étude de cette situation mobilise complètement un logiciel de géométrie dynamique. La preuve et les calculs seront guidés par le professeur. La séance peut se conclure par l'observation d'un lieu qui pourra étonner les amateurs de rugby.
Énoncé
Le but est de trouver géométriquement la position du point M sur la demi-droite d perpendiculaire à (AB), passant par H de façon que la mesure de l'angle soit maximale.
On donne AB = 5,60 m et BH = 16,20 m.
Pour les amateurs de rugby, cette situation se présente lors de la transformation d'un essai. Les points A et B représente les poteaux, (AB) la ligne de but et M la position du buteur sur une direction perpendiculaire à la ligne de but, en partant de l'endroit où a été aplati le ballon.
Objectifs
Faire intervenir des connaissances sur les angles et les distances, sur la notion de minimum et de maximum. Conjecturer le résultat à partir de l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique.
Déroulement du scénario
1ère séance en salle informatique, un poste par élève avec sur leur bureau les logiciels cabri et geogebra.
Pour la démonstration(qui peut être donnée en travail maison au préalable), des informations complémentaires peuvent être apportées pour guider les élèves vers la solution.
2ème séance en salle de cours pour la démonstration
Apport des TICE
Visualisation rapide d'une solution approchée par l'aspect dynamique de la figure. Possibilité de rajouter et d'effacer des éléments géométriques sans refaire la figure de base.
Liste des compétences expérimentales travaillées
Réaliser une figure de géométrie dynamique en respectant une échelle.
Placer un point libre sur un objet, visualiser la mesure d'un angle.
Prendre l'initiative d'activer la trace d'un point.
Tester des cas particuliers.
Enoncer clairement une conjecture (définir le lieu avec précision) et en tester la validité.
Informations complémentaires pour guider vers une preuve et un calcul
Tracer le cercle circonscrit
au triangle AMB et noter I son centre.
Observer la position du point M et du cercle
.
Soit K le milieu du segment [AB]. Prouver que IA
KH où KH est la distance entre la droite d et le point I.
Démontrer que
.
En déduire que
est maximal quand IA = KH.
Calculer les valeurs de
et de MH correspondantes.
Bilan de l'expérimentation
La construction de la figure a été plutôt difficile (mise à l'échelle et report des mesures pour avoir des points A, B et H fixes et alignés) mais tous les élèves ont finalement réussi à conjecturer une valeur de
.
La séance a été trop courte pour effectuer des conjectures autres que celle demandée par l'énoncé : prolongements envisageables (construction de la figure dans le cas où l'angle est maximal, nature du quadrilatère IMKH, lieu du point M quand H varie...)
La démonstration a été effectuée en classe entière, mais il vaudrait mieux l'envisager comme recherche guidée à la maison.
