Autour des identités remarquables

Le plan est rapporté à un repère

.
Déterminer et représenter l'ensemble des points

tels que :
a)

b)

Question Défi pour stimuler les élèves les plus rapides.
Déterminer et représenter l'ensemble des points 

tels que : 

Cette activité est une situation intéressante à faire vivre en classe de seconde.
Il s'agit de revisiter les identités remarquables en travaillant sur les quantifications (souvent implicites) et les différents sens du symbole  = qui sont liés par ces

quantifications.
L'élève ne s'approprie bien l'énoncé qu'après avoir réfléchi à des phrases du type :
« quels que soient les réels a et b ,

»
« il existe des réels a et b tels que

»
« rechercher tous les réels a et b tels que 

»

Dans un premier temps, les élèves sont choqués que l'on puisse écrire

, c'est le début d'une discussion sur les différents sens du symbole = en liaison avec les quantificateurs.
Une élève fait observer à ses camarades que, si l'égalité est fausse en général, elle peut être vraie pour certaines valeurs de x et de y : elle propose x = 0 et y = 0.
Un élève propose de travailler sur l'équation

.
Plusieurs élèves arrivent à l'équation 2xy = 0 puis le lien avec le produit nul est fait : mais il y a hésitation entre « x = 0 et y = 0 » et « x = 0 ou y = 0 ».
La représentation géométrique des points solutions se fait relativement sans problème et permet de (re)parler de la notion d'équation de droite.
A partir du b), on peut s'affranchir des difficultés de calcul  en utilisant un logiciel de calcul formel ( par exemple Xcas ou Wiris).

Le calcul formel ne dispense aucunement l'élève de l'élaboration d'une stratégie. La transformation de la question posée en une autre question que l'on peut traiter reste à sa charge. Par exemple, traduire le problème en « rechercher tous les réels a et b tels que

. L'intelligence des calculs des calculs à faire pour traiter cette question reste également à sa charge : développer, factoriser ?

Le calcul formel, inutile pour la première question, pourra aider certains élèves pour mener à bien les calculs du b) .
Il ne dispense que de la maîtrise technique quand la maîtrise du cas simple est avérée.


Il devient précieux pour les élèves qui abordent la  question défi.


On produit différentes écritures d'une expression par développement ou factorisation. La résolution d'une équation poussera à opter pour la forme factorisée.
Dans le défi, l'écriture de 

sous la forme canonique 

est intéressante à exploiter et donne lieu à une véritable réflexion sur les informations apportées par cette nouvelle écriture (une somme de deux carrés est nulle ssi les deux termes sont nuls...).
Un élève a même obtenu 

: joli mais pas très intéressant ici.

• Revisiter les identités remarquables.
• Travailler sur le concept égalité/équation en liaison avec les quantifications.
• Modifier l'écriture d'une expression algébrique et choisir la forme la plus adéquate pour résoudre un problème donné.
• S'entraîner au raisonnement et à la logique : sens des mots ET et OU, CONTRE-EXEMPLE.

• Prendre l'initiative de déléguer à un logiciel de calcul formel une tâche calculatoire dont on connaît la nature mais dont on ne maîtrise pas la technicité.
• Piloter un logiciel de calcul formel après avoir identifié un besoin de calcul  ou une stratégie à suivre.