Moyenne arithmétique et variance

On considère la série statistique des 23 notes suivantes :
 2 ; 5 ; 3 ; 3 ; 8 ; 10 ; 10  ; 4 ; 5 ; 10 ; 6 ; 6 ; 10 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 3 ; 2 ; 5 ; 3 ; 10 ; 6

1. En utilisant un tableur, calculer la moyenne de ces notes.

2. On considère maintenant la fonction Q définie sur [0;10] par :

    
Cette fonction représente la moyenne des carrés des écarts entre un réel x appartenant à [0;10] et les différentes notes de la série.

Toujours avec le tableur, réaliser une feuille de calcul qui donne les valeurs de Q sur [0;10] avec un pas de 0,5.Cette feuille devra rester interactive quand on change les valeurs des notes de départ.

3. Etudier alors le minimum de la fonction Q.
Etablir une conjecture, la tester en changeant les notes et la prouver.

La valeur minimale de Q(x) est appelée variance de la série statistique

la quantité Q(x) mesure l'écart entre la série

Le but de cette activité est de montrer que cet écart est minimisé lorsque 

1. Ce qui a été fait avant :
Les élèves ont déjà travaillé sur tableur : construction  de tables de valeurs de fonctions, représentation de nuages de points, et calculs de différents paramètres en statistique.

2. Le déroulement pour la question 2 :

Au départ, pour calculer Q(0), les élèves sont tentés d'écrire directement une formule du type : =1/22*((C1A4)^2+(C1A5)^2+....) lorsque 0 est dans la cellule C1 et les notes dans la colonne A.

Dans ce contexte : l'utilisation du tableur étant imposée et le nombre de notes étant important,  une autre stratégie s'impose par la nécessité d'automatiser davantage les calculs.

Progressivement, se dégage l'idée de travailler avec un tableau à double entrée dans lequel pour toute valeur de x, on calcule successivement chaque terme de   pour en faire finalement la somme.

3. Le déroulement pour la question 3 ne pose par trop de problèmes.
On peut éventuellement donner à certains élèves le questionnement suivant :
Soit Q la fonction définie sur IR par :

x_n  sont n réels ">

L'outil tableur montre dans cette activité sa pertinence par rapport à l'utilisation d'un grapheur : il permet en effet de manipuler un grand nombre de notes et de les modifier facilement dans la perspective du travail de conjecture.

• Utilisation du tableur comme outil de collecte des données
• Utilisation du tableur comme feuille automatisée de calculs
• Construire un tableau à double entrée  en utilisant les références absolues.
• Calculer différents paramètres statistiques à l'aide d'un tableur.
• Représenter un nuage de points.
• Tester la robustesse d'une conjecture (ici en changeant les notes de départ).