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Actions nationales 2019-2021

Quelles activités mathématiques pour travailler la compétence Modéliser ?

 
Parade au cours de laquelle des professeurs et des élèves se livrent à des exercices variés où ils mettent en scène les mathématiques.

Tout au long des deux années scolaires 2019-2021, un groupe de douze professeurs de collège et de lycée de l’académie de Nantes, piloté par Gilles Ollivier IA-IPR, ont travaillé sur modélisation et Mathématiques.
Voir le tableau synoptique des activités proposées
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 Télécharger( tableau-synoptique-modelisation_1758561587217?ID_FICHE=550339&INLINE=FALSE )
  Ces travaux de recherche, menés dans le cadre des actions mutualisées au niveau national par la DNE (Direction du Numérique pour l’Éducation) :
 
  • Mieux cerner ce que l'on entend par Modéliser au travers d'exemples et des contre-exemples.
  • Quelle mise en place en classe ? Une approche historique.
  • Lien collège lycée : comment travailler la modélisation au collège pour commencer à construire des modèles au lycée ?

Fichier PDF
Modéliser : un document d'accompagnement au collège.
Fichier PDF
Modélisations et mathématiques : bilan du groupe TraAM 2019-2020


Le document sur la compétence commence ainsi :
" La compétence "Modéliser" , si on la prend dans son acception la plus large, renvoie pour le mathématicien au fait d’utiliser un ensemble de concepts, de méthodes, de théories mathématiques qui vont permettre de décrire, comprendre et prévoir l’évolution de phénomènes externes aux mathématiques."

Puis, un peu après, " La compétence "Modéliser" est, parmi les compétences travaillées, celle qui aborde de front le lien des mathématiques avec un extérieur à la discipline. "

Le groupe TraAM de l’Académie de Nantes a commencé à réfléchir à ce double passage
situation réelle
modèle mathématiques
situation réelle.

Une autre formulation, une autre approche est donc de s’intéresser à l’apport de l’abstraction sur une compréhension du réel.

Au collège particulièrement, une clé de l’entrée dans la modélisation est certainement la représentation. Représenter ouvre souvent la voie au calcul, au calcul pertinent.
Présentation jeu de l'oie
Cette présentation, façon jeu de l’oie (les petites images sont des hyperliens), va explorer différents travaux menés auprès d’élèves lors de l'année scolaire 2019-2020.
Modélisation d'un tipi
L'univers en bananes
mesurer avec ce que l'on a sous la main
Optimisation d'une canette
Les dés du diable
Let's celebrate Ireland
Se garer à Nantes
Le four solaire
Datation au carbone 14
Radiateur à ailettes
Un terrain à aménager
Le projet tyrolienne
Des caissons Phoenix aux parpaings qui flottent
Une mise en place de la dérivation à partir d'un problème de modélisation
légende
Exemples et contre-exemples de modélisation
Problèmes d'allées dans un jardin
200 litres
Modélisation d'une tasse à café
La danse des nombres
Un jeu de carte et des mathématiques en sixième

Focus sur " Modélisons une tasse à café "
Dans l’exercice proposé de la tasse, la méthode du collègue de physique donne une meilleure approximation que la modélisation des élèves au regard de l’exercice posé et des conditions là où il a été réalisée : à la Roche sur Yon, un collège utilise a l’eau courante, une éprouvette graduée, une balance précise pour une activité ludo-pédagogique.
Implicitement dans la présentation de l’exercice, la grande tasse est " indiquée " comme homothétique à la petite tasse que les élèves ont en main.
C’est une raison pour laquelle comparer la moyenne des résultats issus du modèle mathématique au résultat trouvé par la méthode de la physique et non l’inverse est probablement plus pertinent. Néanmoins, Si on regarde l’image de la grande tasse, ce n’est pas la réalité puisque le " renflement " à la base semble proportionnellement plus important pour la petite tasse que pour la grande…

Il convient alors de souligner la force du modèle mathématique et cette " force " vient justement de la simplification par un cylindre. Si la situation avait été travaillée au milieu du désert avec dans son sac à dos une photo du record et une tasse, le modèle mathématique effectué par les élèves aurait quand même permis de trouver l’ordre de grandeur (éventuellement sans règle gradué et on rejoint l’activité sur " mesurer avec ce que l’on a sous la main ").
Idem s’il avait été en classe au pôle sud…le froid aurait changer les conditions physiques (pression et température par exemple) mais la modélisation mathématique, elle, aurait permis de donner une réponse satisfaisante au problème posé.
Avec plus de temps, si on avait dit aux élèves, comment améliorer le modèle, la compréhension apportée par ce premier calcul, leur auraient-ils permis de dire : un grand cylindre au-dessus, un plus petit au-dessous et on refait les calculs ?
 
Conclusion et perspectives
Conclusion 
Modéliser c’est simplifier un problème pour proposer une réponse qui semble " acceptable " : problèmes d’allée et de jardins, caisson Phoenix, la banane, se garer à Nantes, la tyrolienne.

Modéliser c’est comprendre un problème afin d’améliorer la réponse (si on avait le temps) et de voir les limites : radiateur à ailettes, tipi, voiture qui ressemble à des juxtapositions de parallélépipèdes, calculer le volume d’un cylindre par " rotation " d’un rectangle autour d’un axe (à rapprocher aussi de l’optimisation d’une canette)?
Cette compréhension est encore meilleure si on a des outils mathématiques adéquates (four solaire, tyrolienne dans le lycée, un terrain à aménager)

Lorsqu’un modèle est suffisamment satisfaisant, il peut devenir une théorie : les pavages proposés, dérivation, la datation au carbone 14.

Perspectives 
Un modèle, tout en contenant sa part d’imprécisions voire d’erreurs, peut néanmoins être un outil pertinent à la compréhension en cela qu’il permet une étape dans celle-ci, étape qui assurera à terme l’aboutissement à un modèle plus élaboré et plus proche de la réalité. En chimie, c’est le cas du modèle de l’atome de Bohr ? Ce modèle est faux mais bien pratique pour se construire une première image mentale de ce qu’est l’atome… A nous ensuite d’accepter de faire évoluer cette vision !
 

Des exemples d'activités

Des exemples d'activités incluant des plus anciennes pour lesquelles il y a modélisation, ou adaptables pour la modélisation